最大公約数と最小公倍数 - ミルキヅクのブログ

まず最小公倍数から説明する。

倍数とは、ある値を1倍、2倍とした時の数のこと。

たとえば、

2の倍数は2.4.6.8.10.12

3の倍数は3.6.9.12

2の倍数と3の倍数で共通するのが6と12。

共通していることを公という。

だから公倍数は6と12。

その内、もっとも小さい方は6。

だから2と3の最小公倍数は6

2の倍数の6であれ、３の倍数の6であれ、6を構成する素数は同じ。

素数の九九表で確認すると、確かに６は2と3の素数で構成されている。

つまり最小公倍数とは、同じ素数で構成される自然数を聞いているにすぎない。

自然数とは：1.2.3と数えられる数。

0とか-1は含めない。0や-1のリンゴとか数えられないでしょ？

であればお互いに素数（互いに素という）ならば、お互い掛け合わせたものが最小公倍数になる。

例えば、

2ｘ3＝6

3ｘ5＝15

5ｘ7＝35

最小公倍数とは

同じ素数で構成される自然数

最大公約数とは？

では最大公約数の方はどうか？

6は2ｘ3の素数で構成されていた。

だから6は、2でも3でも割れる。

6÷2＝3

6÷3＝2

このことを、2と3は６の約数という。

今は６という数字１つだけだったが、２つの数字の場合はどうか。

そこで、まず2と3の素数を準備する。

両方とも2倍すると4と6。

2倍したので、4と6は2で割れる。

したがって4と6の約数は２。

共に２で割れるので公約数という。

さらに4と6を2倍すると8と12。

8と12は最初に準備した2と3に対して、ｘ2を2回して作った数字なので、共に4でも割れる。

もちろん最初に2倍した2でも割れる。

公約数は2と4だが、その内もっとも大きいのは４。

だから8と12の最大公約数は4。

最大公約数のポイント

共通している素数のかけ算

では話を最小公倍数に戻す。

8と12の最小公倍数は？

最小公倍数とは素数の構成が同じものを見つけることだった。

8と12の素数を整理すると（素因数分解という）

8＝2ｘ2ｘ2

12＝3ｘ2ｘ2

まず2ｘ2が共通している。

すべての素数を共通にするために後足りないのが、8側は3、12側は2である。

それらを追加して掛け合わせると24（共通素数2.2.2.3）。

よって24が最小公倍数になる。

記号で抽象化されても同じこと

高校の数学では、最小公倍数や最大公約数はアルファベットで抽象化して問題が出される。

たとえば、

12＝2ｘ2ｘ3

18＝2ｘ3ｘ3

a＝2 　b=3とすると

12は $a^{2}b^{1}$

18は $a^{1}b^{2}$

と表現できる。

アルファベットはすべて素数である。

抽象化されても考え方は同じ。

例えば、最大公約数であれば、共通で割れるものを探す。

12の $a^{2}b^{1}$ と18の $a^{1}b^{2}$ を比較すると、共通している素数のペアの掛け算は、 $a^{1}b^{1}$ だとわかる。

なぜ $a^{2}$ とか、 $b^{2}$ がでてこないかわかるだろうか？

8と12の両方の数字に、共通で $a^{2}$ はないから。ｂも同様。

共通しているのは、 $a^{1}$ と $b^{1}$ のみ。

よって、a=2 b=3だったので、2ｘ3＝6が12と18の最大公約数。

一方12と18の最小公倍数は、同じ素数で構成することなので、12の $a^{2}b^{1}$ には $b^{1}$ を掛け、18の $a^{1}b^{2}$ には $a^{1}$ を掛けると、 $a^{2}b^{2}$ で共通になる。

したがって、 $2^{2}\times 3^{2}$ ＝4ｘ9＝36となる。

確かに、12を1倍、2倍とすると

12、24、36、48…

18も同様に1倍、2倍

18、36、54…

36が最初にでてくる最小公倍数となっている。

最大公約数、最小公倍数の理解で大事なのは、自然数が素数の組合せでできていることに気づくことである。