Σ数列について説明した記事

物理の公式には、掛け算、割り算が多くある。 掛け算とは、かける性質を付与することだった。 割り算とは、分母の世界から分子を見ることであった。 一方、割り算は、ひっくり返してかける掛け算でもあった。 要は、割り算も、掛け算だ。 つまり物理の公式は…

エピローグ 高校の時、容赦なく平手をした先生はまだご存命だろうか。 その先生を思う時、ビンタの痛みが懐かしい。 数学の教授法は日本の未来を変える。 しかし、学校教育の限られた時間の中で数学を１から教えるのは難しいのだろう。 現に授業内容も教科書…

1＝0.999…？ 考えるほど１は不思議な数字だ。 不思議といえば、0.99…＝1だ。 証明としては、0.99…をｘとおき10倍して引く。 すると確かに１となる。 また、例えば、同じ数を繰り返す循環小数は次のように表せる。 とすると、9は１になりそうだ。 たしかに0.9…

比例と反比例とは？ 比例と反比例は言葉は簡単だが、意味がわかりにくい。 なぜならグラフの形がまったく違うから。 反比例は比例の反対だから、比例と反対のグラフが反比例ではないのか？ しかし、実は、傾きが逆になっても比は同じなので比例である。 一方…

かけて１になるもの 1という数字は便利で自在変化できる不思議な数。 世の中には、かけて１になるものがある。 ほぼ0ｘほぼ無限＝１ まずは1ｘ1。 １は果てしなく分解できる。 たとえば、 1ｘ1 0.1ｘ10 0.01ｘ100 … 0.001ｘ1000… 0.0001ｘ10000… つまり、「…

加速度⇒速度⇒距離 マイナス2次元は加速度と言った。 理由は、加速度の単位にある。 分母の指数はマイナス乗である。 よって、言い換えると マイナス２次元である。 加速度に時間をかけると速度になった。 単位だけで計算すると たしかに、は速度。 そして、…

微分・積分は、変化がある時、その変化を、どの次元で見ているかの話。 マイナス１次元から0次元への積分の話は以前した。 マイナス1次元は反比例の形をしていた。 補足： ではマイナス2次元は何か？ 加速度である。 え？ 実は、加速度、速度、距離という言…

このページは、数式がたくさんあるように見えるが、難しい計算はない。 とは まずを用意する。 ｘをｘで積分するという意味だ。 の答えを仮にｙとする。 補足：ｙと置くのは、計算しやすくしたり、わかりやすく説明するため。 ｄｘのｘと∫の中のｘをわかり安…

さて、次は微分の話に移ろう。 積分は1次元上げた見方。微分は1次元下げる見方である。 微分操作は積分メガネを外すだけ。 微分の仕方 指数を前に下ろす 指数を１つ下げる。 積分が単なる掛け算でなかったように、微分も単なる割り算ではない。 補足：割り算…

マイナス１次元と0次元の関係 0次元から3次元までは同じ関係性が見て取れた。 では、マイナス１次元から0次元への変化はどうだろうか？ まず今まで通りの流れで積分メガネを使ってみよう。 マイナス1次元のをｘで積分すると という式になる。 指数の-1を１つ…

2次元と3次元の関係 次は2次元と3次元で見てみよう。 をｘで積分すると、となる。 は、積分する前の2次元のf(x)=では下記のオレンジの四角錐の体積を表している。 四角錐の公式にが出て来る理由でもある。 のの意味は、３次元に住む我々は縦横高さが掛け合わ…

積分の係数の意味 積分した時、なぜ係数の分母に１つ増やした指数の値が来るのだろう。 1次元の線であるｘが積分で２次元に変化した時、という三角形のような値になる。 これは、１次元の線が二次元を見ると、その半分しか見れないことを意味した。 同様に、…

次元が上がるとは？ １次元の線であるをrで積分して二次元で見てみよう。 やり方は積分メガネで説明した通り、の指数の次元を１つ上げて、それを分母にもってくる。 となる。 とはどういう意味なのか？ これは、1次元の線が、積分操作によって2次元という新…

積分は何を１次元上げるのか？ 積分は一次元上げる見方。 では何を１次元上げのか？ ｄの右の記号の要素である。 たとえば、ｄｘならｘ。ｄｒならｒである。 オレンジの中に、そのｘやｒがあるかである。 しかし、上の式のオレンジ内にｘは見当たらない。 で…

積分記号とｄ 積分記号は∫（インテグラル）とｄをセットで使う。 たとえば、を積分する時は以下のように表す。 これは、何の未知数を求めようとしているのか？ 積分とは 1.次元を一つ上げる 2.特殊な見方 よって、という２次元の値を、３次元で見た時の値を…

次元とは 0次元は点 1次元は線 2次元は面 3次元は立体 どの次元で物事を見ているか？ これが微分積分だ。 まずは積分について説明したい。 リンゴが目の前にある。 ３次元の立体で見ればリンゴに見える。 2次元でみれば赤い面、１次元なら線、０次元なら点に…

光のように、目に見えない速度もあれば、髪の毛の伸びのように目で捉えられない速度もある。だが、その速度は0ではない。 数学で点とは部分を持たないものだが、毛根の点は部分を持ち、やがて一本の髪の毛という線になっていく。 さて、幅１ｍｍで長さ１ｃｍ…

ところで、物理的に力が加えられない限り、物は動かない。 「物が動く」とは、力が加えられたということ。 力とは？ 力とは何か？ 物理の式で言えば 力＝質量ｘ加速度。 式では 力…force 質量…mass 加速度…acceleration 力はエネルギーのことなのか？ アイン…

ｘ軸上の交点 関数グラフとｘ軸との交点は解になる。 なぜだろう？ そこで、まずを準備する。 とは、ｘに、ある値を入れた時のｙの値。 だから よって、は次のようになる。 とは、ｘに、ある値を入れた時のｙが常に0という意味。つまりｘ軸のこと。 とは、ｙ…

ｙ＝１は、なぜ下記のようなグラフなのだろう？ ｙ＝１であれば、ｙは１しかないように見えるのに、なぜ線なのか？ この疑問は、関数と方程式の違いの理解度から来る。 さて、まず座標の考え方を確認しよう。 ｘ軸だけの数直線は下記のようになる。 ここで、…

ｘｙ軸とは？ 点を拡大すると円に見えるが部分を持たないので、点とは直径0の円みたいなものだ。 といってもイメージしづらいと思う。 しかし、想像物である数学だと割り切って強引にイメージしてほしい。 その点を1円玉のような円と見立て、その端を指では…

リンゴ１個100ｇ当て競争をやってみよう。 １００ｇと予想したリンゴを計量器に載せると103ｇだった。 ちょっと削って計量器に載せると100ｇでぴったり。 精度の高い計量器があったので載せてみると、100.1ｇだった。 0.1ｇ調整してまた載せると100.0ｇぴっ…

指数が0の時は答えは1？0？ 何かの0乗は何だろう？ 10が がだった。 では、は何になるか？ 1か0の感じがする。 答えは1。 なぜそうなるかより、そう決めないと合理性がなくなるから。 数学は合理的な学問。 とすると整合性がとれるのだ。 仮にとすると、0で…

100はと表せる。 10の右肩にのった２は、「指数」という。 100は10を2回掛けた数。 10を何回掛けると100になるか？は、指数の値を聞いている。 わからない数は未知数ｘで置くので、＝100となる。 ではｘを解いてください。 なんとなくｘは２だとわかるが、ど…

0の発明によって、桁を自由に行き来することができるようになった。 1から9まで数えて次に10と言えるのは、0のおかげ。まさに、0様様だ。 桁を増やせるなら、減らすことだってできる。 それが小数の話。 1を10倍したら10で 1を10で割ったら なんとはと表現で…

1,000円札が1,000枚でいくら？ 1,000,000円。 では1,000,000円が1,000,000枚でいくら？ 1,000,000,000,000円 0を数えず一瞬で言えたあなたは数字が得意なはずだ。 答えは１兆円。 桁を数えるだけで大変。 そこで指数が役にたつ。 掛け算を足し算に 指数とは…

sinθとsinθ°は混乱しやすいので再確認する。 sin1とsin1°の違いは？ sin1の１に°がない。°がないので弧度法の１。 単位円において、円周は２πｒ＝6.28 6.28が360°を表すが、その6.28の内の1の角度の時の縦の長さを聞いている。 6.28とは、半径を6.28個分、円…

単位円と三角関数 分母が１だと、分子の変化が捉えやすい。 三角関数で単位円（半径1の円のこと）を使う理由もそれである。 サイン、コサインと聞いて拒絶反応が出るかもしれないが、簡単。 サインシーターは以下のように書く。 sinθ これは、sin x θという…

割り算はひっくり返してかける？ 分数の割り算はひっくり返して掛けると習った。 しかし、本当はｘ１をしているだけである。 分数のまま回答してよいなら、以下の状態でもよさそうだ。 何も、分子や分母が分数ではだめというルールはない。 でよい。 しかし…