単位円と三角関数
分母が１だと、分子の変化が捉えやすい。
三角関数で単位円（半径1の円のこと）を使う理由もそれである。
サイン、コサインと聞いて拒絶反応が出るかもしれないが、簡単。
サインシーターは以下のように書く。
sinθ
これは、sin x θという掛け算ではない。
sinθで、ある未知数を聞いている。
では、「ある未知数」とは何か？
sin（サイン）とは？
sin（サイン）は角度のことではなく、直角三角形の斜辺の長さ（＝半径）を１とした時の、縦の長さをきいている記号。
con（コサイン）とは？
cos（コサイン）は横の長さを聞いている記号。
どちらも角度ではなく、長さを聞いている。
θとは？
では、sinθのθ（シータ）とは何か？
θは角度。
では、長さのsinと角度のθが合わさったsinθは何を意味するのか？
sinθとは？
sinθとは、斜辺でもある半径が、円周を回る際、θの角度が変わっていくが、各θにおける縦の長さのことである。
縦の長さとは、つまり、Ｙ軸の値のことである。
単位円とは半径1の円。だから、半径でもある斜辺が常に１になる。
より具体的にsinθを説明すれば、この斜辺である１を分母とした時の縦の長さである。
sin cosの公式を改めて見てみよう。
単位円とは半径１の円だが、どちらも、分母は半径１になっている。
分母が１だから分子だけ見ればよい。
sinθが縦、つまりｙ軸の値。
cosθが横、つまりｘ軸の値を示している。
分数とは分母を基準に分子を見ること。
分母が１に対して、分子である縦や横の長さを比較している。
下記のイラストを見てもわかるように、とはa:rのこと。
つまり、半径ｒ＝1に対して、aであるsinθやbであるconθの長さを比較している。
意味がわかれば公式を覚える必要がない。
sinは縦で、cosが横であることはスペルの形から想像しやすい。
斜辺は単位円の半径。だから常に１。
その１は常に分母にくる。
sinθもcosθも１を超えない
sinθやcosθが長さならば、単位円においてそれらの最大は１。
例えば、cosθが２だと単位円から飛び出すのでありえない。
横も縦も最大の長さは半径の１を越えないので、sinθとcosθの最大は１である。
【補足】sin conは半径に対する縦や横の比なので、半径が２だろうが、10だろうが、比率は変わらない。比とはa:b。a:bは割り算a÷ｂのこと。a÷ｂとは、のこと。この時分母は半径。つまり、比の基準となる長さ。
sinθが１になる時とは？
sinθの最大は１。
sinθが１になる時のθは90度である。
θが０度の時は縦の長さは発生しないので０である。
分子が0の時だから、0÷1で0。
cosθが１になる時とは？
cosθの最大は１だった。
cosθが１になる時の角度は０度である。
θが90度の時は横の長さは発生してないので０である。
単位円の半径を１周させると、ｘ軸、ｙ軸ともに-1から1の範囲で動く。
従って、sinθ cosθは-1から1を行き来する。
くせもの、θ
θは角度。
しかし、θはくせもの。
なぜなら、θの時と、θ°の時がある。
何が違うのか？
θは長さで角度を表し。
θ°は角度を表す。
いずれにせよ、角度を表す。
円周は360°。これは度数法（どすうほう）という。
一方で円周を長さで表す公式は２πｒ （πは円周率3.14）（ｒは半径）。
単位円（半径１の円）であれば、
2ｘ3.14ｘ1＝6.28という長さである。
半径１を360°フルに回転したら円周は6.28という長さになる。
逆に言えば、円周の長さが6.28ならば、半径１の単位円において、角度は360°とわかる。このように、長さで角度が表現できる。
θとθ°は似ているが、違う。
シータは角度なのに、「°」が無い時は長さ。
長さなのだが、その長さで角度を表わせるから不思議だ。
円周の弧の長さで角度を捉えることを「弧度法（こどほう）」という。
θって結局どこ？
以下のとおりである。
θ°は角度。
θは長さだけど、それで角度を表す。
その長さは、半径を基準にしている。
それを１個分円周に張り付けた角度が（1rad≒57.3°）
弧度法ってなんであるの？
なぜ「弧度法」が必要なのか？
例えば360°の円の紐を切って線にしてみてほしい。
「360°の長さ」って何？
長さといえば、単位はｃｍやｍである。単位が「°」の長さは意味不明だ。
そこで、長さで角度が表現できる弧度法が便利というわけだ。
では、どうやって長さで角度を表現するのか？
半径の長さを利用する。
つまり、半径の長さを基準に、それを円周に張り付けていくのだ。
１radって？（ラッド）
単位円（半径１の円）において、360°＝6.28であった。
両辺を360°で割ってみると、
つまり１°あたり0.01744程度の長さであることがわかる。
逆に6.28で割ってみると＝約57.3°
つまり１あたり約57.3°ということがわかる。
この57.3°を１radと表現する。
1rad≒57.3° （≒ほぼ等しいの意味 ニアリーイコール）
１radの１という数字に°がないので、rad側に°が隠れている。
1radを省略せず書くと、1ｘ57.3°という意味だ。
つまり
rad＝57.3°
では1radの１は何か？
円周に張り付いている半径の個数である。
半径の長さ１個分を円周にペタッと張ると、ちょうど57.3°になって、それを1radと呼ぶわけだ。
それが6.28個分あると360°になる。
1radは半径１個分の長さを円周に張り付けた時の角度。
半径が変わると角度は変わる？
ところで、半径が１の時は円周は6.28であるが、半径が変わると円周も変わり、角度も変わりそうな気がする。
実際は、変わらない。
半径1個分：57.3°
という比は保たれる。
このように、弧度法は半径を基準に、それを円周に張り付けて、角度を求めている。
なぜ半径を基準にできるのか？
半径を円周の長さの基準にしてよい理由は、円周＝２πｒという公式からわかる。
2π＝2ｘ3.14＝6.28
つまり、円周＝２πｒは以下になる。
円周＝6.28ｒ
これは、円周が半径ｒで決まると言っている。
ｒがどんな値であれ、上記の公式は成り立つから、半径を円周の基準にしてよい。
円周１周は何rad？
360°を57.3°（1rad）で割ると6.28。
よって、円周１周は6.28rad。
6.28は２πのこと。２ｘ3.14。
1radは57.3°。
1radは半径１個分を円周に貼った時の角度。
つまり１rad x 6.28 = 57.3°ｘ6.28 ＝360°
補足：57.3は少し数字が違う理由は、本当は円周率は3.14…と続くが、3.14で割り算をしているから。
ｒ（半径）が１rad？
あれ？円周は２πｒではなかったのか？この時のｒは半径ではなかったのか？
円周は２πｒだが、半径が１であれ１０であれ、その半径を１つ分弧に張り付けた角度が1rad（≒57.3°）と言っている。
逆にいえば、1radは半径によらない。
よって、２πｒのｒは1radと捉えることもできる。
すなわち、２πｒ＝2πｘ１rad=360°
そして、半径ｒがどんな値でも、１radは≒57.3°に変わりないので、２πｒのｒが省略され、2πが円周を表すことになる。
円周である２πｒのｒを半径と捉えていると、なぜ２πが円周になるのか理解できないだろう。そこには１radが隠れていないとつじつまが合わない。
1rad（角度）＝半径ｒ（長さ）
弧の長さがｒθで求まるのはなぜ？
考え方１
２πｒ＝360°
360°の内、θ°がどれだけ進んだかを表すために分数表記すると、
補足：rθで、なぜ半径ｒという長さに、θという角度を掛けると、円周の弧の「長さ」になるのか疑問だった方は、θがどこを表しているか明確でないからだろう。
またrθのｒは半径でもあるが、その長さを弧に張り付けものでもある。つまり、半径でもあり、弧の１単位でもある。
θは弧の長さを表しているので角度には見えないが、θもθ°も角度を表す記号。θは半径を弧に張り付けたものを１単位として角度を表している。
考え方2
三角形の相似を扇形に応用してもわかりやすい。
左の三角形の相似から
b:a=d:c
これを右の扇型に応用すると、
r：1＝L：θ
Ｌ＝円周の弧の長さ
計算するとＬ＝ｒθとなる。
