sinθとsinθ°の違い - ミルキヅクのブログ

sinθとsinθ°は混乱しやすいので再確認する。

sin1とsin1°の違いは？

sin1の１に°がない。°がないので弧度法の１。

単位円において、円周は２πｒ＝6.28

6.28が360°を表すが、その6.28の内の1の角度の時の縦の長さを聞いている。

6.28とは、半径を6.28個分、円周に張り付けた長さ。

であれば、１とは半径の長さ１個分を円周に張り付けた時の角度である。

それは１radに他ならない。

よって、sin1=sin57.3°（1rad）。

つまり、角度を57.3°にした時の縦の長さを聞いている。

一方、sin１°で、「°」がある方は、単に角度。

斜辺１に対して、縦の長さは0.017程度。

sinθとθの違い

sinθとθの違いもわかりにくい。

今度はどちらも°がついていない。

θは°がないので弧度法。

ではどこの長さのことなのか？

sinθは青の縦の長さ（ｙ軸の値）。

°のないθは弧の長さで角度を表現している。

よって、θは赤の円周の長さのこと。

θが限りなく0に近いと、青のsinθと赤のθが近似する。

この考え方は微積分で使う。

【補足】このことは、ほぼ０に近い変化において、曲線と直線がほぼ同じだと言っている。言い方を変えると、曲線は直線の連続で表現されるともいえる。

だからθが限りなく0に近い時、またはθ°が限りなく0°に近い時、sinθとθはほぼ等しくなる。

いつか、下記の式を見た時は、この話を思い出してほしい。

$\sin \theta =\theta$

次の表記も混乱するので確認したい。

$\sin ^{2}\theta$ と $\left( \sin \theta \right) ^{2}$ と $\sin \theta ^{2}$ との違い？

$\sin ^{2}\theta$ はsinθの値そのものを２乗する意味。よって $\left( \sin \theta \right) ^{2}$ と同じ。

数学は超効率的。だから（）は面倒なので付けない。

$\sin \theta ^{2}$ はθを2乗する意味。

$sin(θ)^{2}$ とするとわかりやすいが。

しかし、 $\sin \theta$ は一体。

かといって、 $\sin \theta ^{2}$ とすると、θが２乗されているのか、sinθ全体が２乗されているのかわからない。

だから、sinθ全体を２乗したい時は、 $\sin ^{2}\theta$ と記述するルールにしたのだろうか。

例えば $\sin2^{2}$ であればsin4=sin(4x57.3°)＝sin229°の意味になる。-0.75ぐらいだ。

tanθとは？

tanタンジェントは $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ と習った。

cosθはｘ軸の長さ、sinθはy軸の長さ。

つまり $\frac{y}{x}$ 。 $\frac{y}{x}$ は傾き。

ｘの変化に対するｙの変化。

すなわち

conθの変化に対するsinθの変化。

タンジェントは傾きと覚えておけば、公式を覚える必要はない。

さて、では、tanθも長さだろうか？

そうである。

どこの長さか？

下記のイラスト右の縦（黄緑）の長さである。

なぜそういえるのか？

tanタンジェントは $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

分数を計算するとは、分母を１にする行為。

たとえば、 $\dfrac{1}{2}=0.5$ 。

0.5とは、省略せず書けば $\dfrac{0.5}{1}$ 。

つまり、 $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ のような分数を計算する行為は分母を１にすることである。

【補足】何度も繰り返しているが、分数とは分母の世界から分子を見る視点。

そして分数を計算するとは、分母を１として分子を見る視点といえる。

では分母であるconθが１とはどういう意味か？

conθ＝１とは $\cos\theta=\dfrac{1}{1}$ のことである。

$\cos\theta=\dfrac{1}{1}$ において、分母の１は斜辺の１。分子の１は横の長さの１。

つまりθが0°の時。

では、 $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を計算した分子は何か？

tanθは傾きであり、ｘの変化に対するｙの変化。

よって、ｘが１変化した時のｙである縦の長さを表してる。

だから黄緑の長さを表すのだ。

そして、この長さはsinθやconθと違って１を超える。

特に、tanθのθが90°近くの時は縦の長さが無限になっていくのがわかるだろうか？

逆にθが0°に近い時は黄緑の長さ（tanθ）はほぼ0である。

tanθは傾きを表すので、θが０°に近い時は、傾きもほぼ0°。

感覚と合っていないだろうか。

三平方の定理と三角関数

単位円において、sinは縦の長さ、cosは横の長さだった。

半径は１なので斜辺は１。

だから、三平方の定理 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ が成り立つ。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1^{2}$

さらに、1を２乗して $1^{2}$ 。

この $1^{2}$ という１は $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$ に入れ替えられる。

つまり、単なる１という数字の世界を通して、三角関数の世界へ移動できるということだ。

内積とは

ところで単位円においてcos45°といえば、斜辺が45°に来た時のｘの長さである。

およそ0.7ぐらいだ。この0.7の意味を綱引きで説明したい。

綱引きで、片方のチームは背の順で並び、綱は斜め45°で引っ張られている。

もう片方は背が同じで真横に引っ張っている。

どちらも力の総量は同じ。

勝つのは真横に引いているＡチームだとイメージできる。

斜め45°に引っ張っているＢチームの力は真横の力で0.7。つまり相手チームの70％しかでていない。

この斜めの力が横に換算するのが内積の考え方である。

$\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right)$ とはどういう意味か？

単位円において円周は２πｒ。

360°＝2πｒ。

いま半径ｒは１なので、360°＝2π。

両辺を２で割ってπ＝180°。

$\dfrac{\pi }{2}$ は90°。

$\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right)$ の $\left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right)$ とは90°-θのこと。

90°-θとはイラストの角度であり、その角度に対する縦の長さを聞いている。

それは、もともとはcosθの長さのことだったので、 $\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right)=\cos\theta$ のことである。

補足：三角形の内角は180°。直角三角形の90°の部分を引くと、残り90°。その90°の内、一方がθなので他方は90°-θ。

三角形の内角はなぜ180°？

正方形は90°が４つあるので90°ｘ4で360°。

三角形はそれを対角で切るので180°。

別の説明で、糸で輪を作る。

それをまずは１本のラインにする。

1本の糸だけ上に引き上げてみる。

確かに三角形の内角の合計は180になりそうだ。