ミルキヅクのブログ

logって何？

数学

100は $10^{2}$ と表せる。

10の右肩にのった２は、「指数」という。

100は10を2回掛けた数。

10を何回掛けると100になるか？は、指数の値を聞いている。

わからない数は未知数ｘで置くので、 $10^{x}$ ＝100となる。

ではｘを解いてください。

なんとなくｘは２だとわかるが、どんな値になっても計算できるためのツールがlog（ログ）である。

logとは

logは未知数である指数を知るための記号に過ぎない。

たとえば、２にある数字ｘを足したら５でした。

式で表すと

$2+x=5$

xは３だとわかる。

同じように、２を何乗したら４ですか？

式にすると、

$2^{x}=4$

xは２だとわかる。

未知数である指数ｘの値を表すのがlogである。

logはｘより具体的

単に未知数をｘとおくよりも具体的な状況を教えてくれる。

たとえば、10を何乗すると100になるか？を記号で表現する時、

$\log_{10} 100$ と書く。

読み方はログ10の100という。

2を何乗すると4になるかは $\log_{2} 4$ と書く。

さて、 $\log_{10} 100$ の答えを考えてみよう。

ちょっと工夫するとすぐに答えがわかってしまう。

100は $10^{2}$ のことなので、先ほどの $\log_{10} 100$ で100の部分（真数と呼ぶ）は、 $\log_{10} 10^{2}$ と表現できる。

もう答えが出ているがわかるだろうか？

100は10を２乗したもの。

つまり10を2乗したのが100だと言っているのだ。

つまり答えは2。

現に $10^{2}$ ＝100になる。

繰り返すが、logは何をしようとしているのか？

指数を知るための記号。

$\log_{2} 4$ で2の部分を「底」といい、4の部分を「真数」という。

そのまま左から読めばよい。２を何乗したら４になるか？

この何乗？を聞いているのがlog。

真数を底で表現する

なぜ真数の４を底の２を使って表現し直すとよいのか？

真数の指数がそのまま答えになるから。

$\log_{2} 4$ ⇒ $\log_{2} 2^{2}$ 。

２を何乗すると４になるか？は、そもそも４が $2^{2}$ なので、２を2乗した数である。すでに答えを言っているのがわかるだろうか。

この２が「底」の２と同じだから、そのまま真数の指数が答えになるのだ。

$\log _{10}$ で桁数がわかる

さて、logは指数を知るための記号なのだが、それだけではない。

底が10の $\log _{10}$ を使うと、桁数がわかる。

$\log _{10}$ は、「10を何乗すると」という意味だが、 $\log_{10} 10^{1}$ の $10^{1}$ の右肩の１はゼロの個数を表していた。

そして、0の個数に１足すと桁数になる。

例えば $10^{1}$ は０が１個で、それに１を足すと２。よって、２桁。

現に１０は２桁。

$10^{2}$ は０が2個でそれに1を足すから3で3桁。

確かに $10^{2}$ は100で3桁。

となると、底が10のlogは桁数を知るためのツールと言える。

$\log_{10} 2$ は何桁？

では $\log_{10} 2$ は何桁だろう？

２は１桁なので、１桁という答えがほしい。

さて、 $\log_{10} 10^{1}$ であれば答えは１乗となる。

では10を何乗したら2になるか？

２は10より小さいので1乗より小さいはず。

答えは約0.3乗。

$\log_{10} 2＝0.3$

0.3に1を足すと桁数になる。0.3+1＝1.3。1.3桁とは１桁は越え２桁には行かないので1桁。現に、真数の２は１桁。

$\log_{10} 10^{1}$ は1。

logは指数を求めているので、答えの１は、１乗という意味。

その１に１を足すると桁数になる。

1+1＝2

たしかに真数の10は2桁である。

何度も繰り返すがlogは指数を知るための記号。

とりわけ底が10の場合は指数に１を足せば桁数がわかる。

$2^{10}$ は何桁？

さて、では $2^{10}$ は何桁か？

そこで $2^{10}$ に $\log_{10}$ という桁を知る性質を掛けると $\log_{10} 2^{10}$ となる。

本当にかけているイメージだ。

$2^{10}\times\log_{10}$

掛け算とは

かけるものの性質を付与する。

（この操作を、logをとるとか、対数をとるという。とると言っているのに、付けているから数学の表現はわかりにくい。）

logをとると、指数は前に下ろせる。

$\log_{10} 2^{10}$ の指数部分の10は前に下ろし、 $10\times\log_{10} 2$ となる。

なぜ指数を前に下ろせるかは後から説明する。

$\log_{10} 2$ は約0.3だったので、10ｘ0.3＝3。つまり $\log_{10} 2^{10}$ ＝３。

logは指数を表す記号だった。

＝3とは、10を３乗したら $2^{10}$ になる意味である。

ところで、 $2^{10}$ ＝1024

$10^{3}$ ＝1000

1024と1000で違うじゃないか、と思うかもしれない。

それは、 $\log_{10} 2$ を計算しやすいように、約0.3で計算したからだ。

さて、 $\log _{10}$ は $2^{10}$ の桁数を知るためのツールだった。

指数が３なので１を足すと桁数になる。だから桁数は4。

実際 $2^{10}$ は1024で４桁だ。

同じように、 $2^{100}$ は31桁だと暗算できる（100ｘ0.3+1）。

補足： $\log_{10} 2$ の２の部分の指数は１が隠れており、実際はそれが前に降りてきて計算されている。

なぜ指数は前に下ろせるか？

なぜ指数は前に下ろせるのだろう？

順番に見ていこう。

$\log_{10} 10^{1}＝1\times\log_{10} 10= 1\times1=1$

$\log_{10} 10^{2}＝2\times\log_{10} 10= 2\times1=2$

$\log_{10} 10^{3}＝3\times\log_{10} 10= 3\times1=3$

上記をみてわかるように、最初に右肩に乗っていた指数は前に降りて $\log_{10} 10$ である１が掛けられている。

$\log_{10} 10$ を $\log_{10} 2$ にして同様に考えてみると…

$\log_{10} 2≒0.3$ 　10を約0.3乗したら2という意味

$\log_{10} 2^{1}＝1\times\log_{10} 2=1\times0.3=0.3$

$\log_{10} 2^{2}＝2\times\log_{10} 2=2\times0.3=0.6$

$\log_{10} 2^{3}＝3\times\log_{10} 2=3\times0.3=0.9$

なぜ底の10と真数の２が一致していないのに指数の３を前に下ろせるのか？

まず混乱していけないのが、 $\log_{10} 2^{3}$ は $\log_{10} 2$ 全体を３乗しているわけではない。

それだと $\log_{10} 2≒0.3$ なので、 $0.3^{3}$ となり、0.027となってしまう。

つまり $\log_{10} 2\times\log_{10} 2\times\log_{10} 2$ のことでない。

3乗という指数は真数の2にかかっていているので真数は8。8を $2^{3}$ と表現しているだけ。

つまり、 $\log_{10} 2^{3}$ は、 $\log_{10} 8$ のことであって、10を何乗したら8になるかを聞いている。

その答えが $3\times\log_{10} 2$ というわけだ。

さて、なぜ指数が前に下ろせるのか？

指数法則の基本公式に答えがある。

これは $a^{m}$ をｎ回かける意味。

ここで、 $\log_{10} 2$ は指数のことなので、ｍに該当する。

何度も言うように、logが指数を見つける記号ということを理解していないと、 $\log_{10} 2$ が、 $a^{m}$ のｍに該当することに気づけない。

$\log_{10} 2^{3}$ の２の右肩についた３はｎに該当する。

ｎがｍの前に降りたのがわかるだろうか？

ｎの３はｍである $\log_{10} 2$ に掛けられている。

よって $3\times\log_{10} 2$ とできるのだ。

logをとる意味

logをとる（対数をとる）意味は、指数を前に下ろせることである。

なぜ前に下ろすとよいかといえば、計算しやすいからである。

logをとる意味

①指数を前に出して計算しやすくするため

②指数が降りた数の指数は１になる。つまり１次式で簡単になる。

指数があって計算しずらい時は、logをとって指数を下ろしてみると指数の意味が捉えやすくなる。

このlogの発明によって天体の計算が飛躍的に向上した。

注意！

① $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$

② $\left( a^{m}\right) ^{n}$ は $a^{mn}$

①の $a^{mn}$ と②の $a^{m+n}$ とは違うので注意。

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