0乗は１？0？

数学

指数が0の時は答えは1？0？

何かの0乗は何だろう？

 

10が 10^{1}　 \dfrac{1}{10}が 10^{-1}だった。

 

では、 10^{0}は何になるか？

 

1か0の感じがする。

 

答えは1。

 

なぜそうなるかより、そう決めないと合理性がなくなるから。

 

数学は合理的な学問。

 

10^{0}=1とすると整合性がとれるのだ。

 

仮に 10^{0}=0とすると、0で割ることはできず、かけると0になってしまう。

 

しかし、指数の掛け算は足し算で表現できた。

 

10^{0}=0だと、 10^{1}\times 10^{0}=0となってしまい、 10^{1+0}=10^{1}にならない。

 

答えが 10^{1}になるには、 10^{0}が１でないと整合性が合わない。

 

 

指数が分数の時とは？

では次に、指数が分数の場合はどうか？

 

\displaystyle 10^{\frac{1}{2}}とは何だろう？

 

例えば \displaystyle 10^{\frac{1}{2}}\times  10^{\frac{1}{2}}=10^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=10^{1}

 

同じ数をかけたら10になる数とは？

 

\sqrt{10}に他ならない。

 

現に \sqrt{10}\times \sqrt{10}=10になる。

 

つまり分数で書かれた指数はルートのことである。

ポイント

指数が分数とは、ルートのこと。

 

\displaystyle 10^{\frac{1}{2}}は \sqrt{10}だが、 \sqrt{10}は略さず書くと \sqrt[2] {10}

 

\displaystyle 10^{\frac{1}{3}} は3乗して自身になる数、つまり3乗根と言って、 \sqrt[3] {10}

 

 4乗根 \sqrt[4] {10}、５乗根 \sqrt[5] {10}も同じ。

補足：ルート記号に何も書いてない時は２乗根。３乗根も、４乗根もルート記号を使う。

 

 

指数の分子は何を表すのか？

では \dfrac{1}{2}の分子の１は何を表すか？

 

実は \displaystyle 10^{\frac{1}{2}}は \sqrt[2] {10}だが、もっと正確に書けば \sqrt[2] {10^{1}}。

 

つまり分子は√内の数の指数を差す。

 

例えば、 \displaystyle 10^{\frac{2}{3}}は \sqrt[3] {10^{2}}という意味。

 

では、指数が小数ならどうか？

小数は分数に変換できる。

例えば0.3なら \dfrac{3}{10}。

 

だから 10^{0.3}は \displaystyle 10^{\frac{3}{10}}

つまり \sqrt[10] {10^{3}}

 

これがわかると、一見複雑に見える計算も足し算でできる。

 

\sqrt[10] {10^{3}}\times\sqrt[10] {10^{3}}=

 

10^{\left( \frac{3}{10}+\frac{3}{10}\right) }=

 

10^{\left( \frac{6}{10}\right) }=10^{\left( \frac{3}{5}\right) }=\sqrt[5] {10^{3}}

 

\sqrt[5] {10^{3}}とは、5乗して1,000になる数のことである。

 

約3.98である。

 

計算のやり方

スマホの計算機に、 \sqrt[y] {x}というのがある。

 

①　1000を打つ。

②　 \sqrt[y] {x}を押す。

③　5＝を打つ。

 

 

 

ルートに関する計算テクニック

ここで√にまつわる計算テクニックをご紹介しよう。

 

長方形から正方形

問題：3ｍｘ12ｍ＝36㎡の長方形の敷地がある。これを正方形にしたいなら１辺は何ｍ？

計算機で36と入力して√をおすだけ。

 

計算機の√は２乗根。自乗して自身になる意味。

 

答えは6ｍ

 

円の半径

問題：36㎡を円にすると半径は？

円の面積は \piｒ^{2}　

πは円周率の3.14　ｒは半径。 　

 

πｒ^{2}＝36㎡

 

ｒ＝の形にしたいので、まず、πを消すために両辺をπの3.14で割る。

 

36㎡÷3.14＝11.46㎡

 

次に ｒ^{2}をｒにしたいので、両辺に√をとる。

 

計算機では√をおすだけ。すると半径3.38ｍ

 

ルートをとるとは

両辺に√をかけること。

 

ルートをかけるとは、乗根して自身になる性質を付与する。

 

例　２乗根の場合

ｒ^{2}＝36

 

\sqrt{r^{2}}=\sqrt{36}

 

左辺

\sqrt{r^{2}}＝ \displaystyle r^{2\times\frac{1}{2}}= \displaystyle r^{\frac{2}{2}}= r^{1}=r

 

右辺　 \sqrt{36}= \sqrt{6^{2}}= \displaystyle 6^{2\times\frac{1}{2}}= \displaystyle 6^{\frac{2}{2}}= 6^{1}=6

 

 

円から正方形

また、半径1ｃｍの円の面積は3.14㎠。

それを√すれば、その円を正方形にした時の一辺の長さを出せる。

 

円が簡単に正方形に転換できた。

 

 

 

2乗したらｍになる単位って

\sqrt{m}？

 

\displaystyle m^{\frac{1}{2}}

 

2乗してメートルになる前のメートルの姿って何だろう？

 

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