ｘｙ軸とは？
点を拡大すると円に見えるが部分を持たないので、点とは直径0の円みたいなものだ。
といってもイメージしづらいと思う。
しかし、想像物である数学だと割り切って強引にイメージしてほしい。
その点を1円玉のような円と見立て、その端を指ではじくと回転している球のようにみえる。
直径がない円を回転させたので、その球も直径は無い。もちろん上下方向の厚みもない。
そのような大きさのない球で空間を作ってみよう。
まずはそれを東西に並べていくと幅がない長さだけの線が出来る。
これを仮にｘ軸と呼ぼう。
次に球を南北に並べる。
それを仮にY軸と呼ぼう。
次にｘ軸、ｙ軸の一つ一つの球を東西南北に複写していこう。
すると高さを持たない平面ができた。
これをｘｙ平面と呼ぼう。
イラストには球の間に隙間が見えるが、そもそも大きさを持たない球なので隙間はない。 東西南北が埋め尽くされたので、今度は上下（高さ方向）に球を並べよう。
これを仮にZ軸と呼ぼう。
そしてｘｙ平面をｚ軸方向にも複写していこう。
すると部分を持たない球からできた不思議な3次元空間ができた。
イラストが下手でごめんなさい。
現実の感覚からすると不思議な世界だが、数学は想像物だから思考できるものは何でもよい。
さて、ここまで準備して関数の話をしたい。
関数とは？
そもそも関数とは何だろう？
どんな数が関係しているのか？と考えても、意味は見いだせない。
関数はf(x)で表わされる。
エフエックスという。
ｆに（x）がかけられた、という数ではない。
ｆは英語でfunction。機能とか作用とか働きを意味する。何を機能させるというのか？
とも言われるが、なぜｙなのか、まったく意味がわからない。
とは何なのか？
説明を続けよう。
先ほどの空間に敷き詰められた大きさのない原点0の球にあなたがいるとする。
あなたはｘ軸の東1という場所に移動した。
矢印で描くと図のようになる。
これをと表現するとする。
次に東２に行った。
これはになる。
ｘ軸だけの動きならこれで終わり。
f(x)のｘに移動した数を入れただけの話。
関数は関係性
は関数と言われる。
関数と言うからには、何らかの関係性があるはず。
x軸と関係がありそうなのはｙ軸かｚ軸。
そこで話をわかりやすくするためにｘ軸とｙ軸だけで考えてみよう。
最初あなたがｘ軸の東１に行った時、ｙ軸上ではどこにいただろうか？
0である。
そのことをと表現する。
右辺の0は、ｙ軸上の0という場所にいることを意味する。
だからというのは、ｘが１の時のyの位置を示している。
単にｙの位置が０と表現したい時は、ｙ＝0でよい。
という記号はいらない。
一方、ｘ軸とｙ軸の２つの関係性の中で、
「ｘが１の時、ｙはどこか？」を表現したい場合、
となる。
「ｘが１の時、ｙはどこか？」を聞かれた時に、
単に、未知数ｘだけで表現できない。
ｘ＝？
ｘだけでは、何を聞いているのかわからない。
聞いているのは、ｙの位置。
その時の条件が、ｘが１にある時。
これが関数の意味である。
だから、ｘｙ軸においては、と表現できる。
ｘｚ軸なら、。
ｘがある値の時のｚの値を聞いている。
ある値を代入した時の、もう一方の値を知ること
関数と方程式の違い
のことを、
はｙと同じと習う。
では、同じなら、関数は方程式なのか？
方程式とは＝で結ばれる式。
左辺と右辺が等しいという意味。
しかし、の＝の意味は、
「ある値をｘに入れた時のｙの値は」
という意味に近い。
＝をイコールと呼ぶか、「は」と呼ぶかでニュアンスが違う感じがわかるだろうか。
イコール＝を使うと、関数＝方程式と誤解させやすい。
しかし、＝以上に、関数のニュアンスを伝える記号がいまのところないので、仕方ない。
方程式は英語でequation。すなわち左右の値が等しいという意味。
方程式はｘとの関係性においてｙの値を聞いているわけではない。
たとえばｘ＝1は、単にｘが１に等しいと言っているに過ぎない。
その１という値は、他の値との関係性において決まったわけではない。
そこが方程式と関数との違いでもある。
なぜ
は混乱するのか？
関数の記号が混乱しやすい理由は、
自体が、ｙの未知数を聞いているのに、
のかっこの中のｘも未知数だと思い込んでしまうからである。
のｘは、未知数ではない。
単に、ｙの値が決まる時のｘの状態にすぎない。それを変数という。
どんな値に変化させても良い数字だ。
ｘというアルファベットを、未知数の意味でも、変数の意味でも使われているので、混乱するのだ。
「わからないものはｘとおく」という「ｘは未知数だ」という先入観を取り去れ。
が聞いている答えは、ｘｙ軸との関係性でいえば、あるｘの時の、未知数ｙである。
補足：ｘｙｚの３軸でｘとｙの値を入れた時のｚを知りたい時は、と表す。
は難しそうにみえが、
と考え方は同じ。
条件として代入する数が１つから２つに増えただけ。
このと、座標点（x,y）は別物。
ベクトルとは
さて、一度原点に戻ろう。
今度は北東に１に進んでみよう。
この時、ｘは１、ｙは1にいる。
これをで表現すると、
のｘに数字を代入する意味は、ｙという未知数を知るためにはｘの位置情報が必要というわけだ。
ｘが１、ｙが１にいることを（x,y）＝（1,1）と表現する。
座標という。
この（x,y）の場所は、矢印で指し示せる。
その矢印を「ベクトル」という。
ベクトルは次元に関わらず、あらゆる場所を指し示めす。
その指し示す場所とは、の解でもある。
関数がベクトルで表現できるのは、関数の特徴で、ｘが決まればｙが決まるという1対1の関係性があるから。
ベクトルはなぜ便利？
今、あなたが、ｘ＝１、ｙ＝１の場所にいたとする。
関数で表現すれば、
である。
それを座標で表せば、（ｘ,ｙ）＝（1,1）。
今、原点0から（1,1）を指し示すベクトルとAと置く。
そのベクトルＡを２倍すると（2,2）という位置に移動する。
なんと、２倍という１回の処理で、ｘとｙという２要素の数字を同時に変化させることができた。
ベクトル表記
ベクトルはｘｙの座標点を示す（1,1）と区別するため縦表記する。
上段がｘで下段がｙの値を表す。
ベクトルの数を増やせば列が増える。
今度は、この２行２列のベクトルの集合体をまとめてＢとする。
Ｂを２倍すると、２つのベクトルが一気に変化できた。
今回は、２倍という１回の処理で、４つの値を一気に操作できた。
こういった、複数の要素を一気に計算して分析できることは、経済学、物理学、生理学、経営学等、多くの分野で役に立っている。
3次元のベクトル１本を表すときは、縦に値を増やす。
4次元、５次元と増やして表現できる。
人間は４次元をイメージできないが、数学空間では可能となる。
【余談】この世は10次元+時間の１次元＝11次元と言われているが果たして…。
