f(x)の意味

数学

ｙ＝１は、なぜ下記のようなグラフなのだろう？

 

 

ｙ＝１であれば、ｙは１しかないように見えるのに、なぜ線なのか？

 

この疑問は、関数と方程式の違いの理解度から来る。

 

 

 

さて、まず座標の考え方を確認しよう。

 

ｘ軸だけの数直線は下記のようになる。

 

 

ここで、座標(x)=(1)なら、以下を表す。

 

同様にｙ軸だけの数直線は

 

ここで、座標(y)=(1)なら、以下のようになる。

 

ｘ軸とｙ軸を合わせてｘｙ軸を作ると、

となる。

 

ここで、座標(x,y)=(1,1)なら、以下のようになる。

ｘが１行って、ｙに１行くイメージだ。

 

ｘが２、ｙが２、つまり、座標(x,y)=(2,2)なら

 

となる。

 

 

 

f\left(x\right) の意味

さて、関数の f\left( x\right) =xと、方程式ｙ＝ｘは似ているようで意味は違う。

 

「方程式」は左辺と右辺が等しいという意味。

 

したがって、y=xの意味は、ｘとｙが等しいという意味。

 

ｘが１ならｙは１だと言っているにすぎない。

 

 

 

一方、関数 f\left( x\right)は、ｘｙ軸において、ｘにある値を入れた時のｙの値。

 

したがって、 f\left(x\right) はｙのことだから、

 

f\left( x\right) =yが成り立つ。

 

よって、方程式ｙ＝ｘのｙを f\left( x\right)と入れ替えると

 

f\left( x\right) =xという関数が成り立つ。

 

 

 

 

f\left( x\right) =xの左辺のｘに１を入れてみる。

 

f\left( 1\right) =x

 

f\left( 1\right) とは、ｘに１を入れた時のｙの値。

 

そのｙの値がｘだと言っている。

 

つまり、y＝x。

 

ｘに１を入れると、ｙも１になる。

 

座標（ｘ,ｙ）＝（1,1）をベクトルで示すとイラストの黒い矢印になる。

 

 

ｘが１に対して f\left( 1\right) であるｙも１ということは、

 

ｙ：ｘ＝１：１。　

 

１：１とは、 \dfrac{1}{1}なので f\left( x\right) =xは傾き１を表している。

 

 

 

f\left( x\right) =2xなら、ｘが１に対してｙは２変化する。

 

なぜなら、 f\left( x\right) とはｘに値を入れた時のｙの値だから。

 

ｘに１を入れると、 f\left( x\right) =2xは、 f\left( 1\right) =2\times 1となり、 f\left( 1\right) =2となる。よって、 f\left( 1\right) =y=2となる。

 

つまりｙ：ｘ＝2：１　

 

2：１＝ \dfrac{2}{1}＝2。

 

つまり傾き２を表す。

 

傾き２とは、ｘが１変化したら、ｙは２変化するという意味。

 

 

 

未知数、変数、係数、定数とは？

傾きを表すこの f\left( x\right) =2xのｘの左につく数を「係数」とよぶ。

 

ｘにかかっているので係数。

 

それは同時に定数でもある。主にaで表現される。

 

f\left( x\right) =ax

 

一方 f\left( x\right) のかっこの中のｘは、いろいろな数字を代入できるので「変数」という。

 

未知数、変数、係数、定数にいろいろなアルファベットが使われているので、混乱するだろう。

 

整理しよう。

 

 

未知数ｘ

数学では、わからないものは一旦ｘと置く言われる。

慣習としてｘは未知数を表す。

 

 

変数

一方、 f\left( x\right) の時は、ｘが変数として使われている。

 

変数は未知数ではない。

 

変数とは、自分でいろいろ変えて代入できる数。

 

同じアルファベットxを、未知数と、変数という2つの違う意味で使うから、わかりにくい！

 

f\left( \right) のかっこの中の記号はｘが大半だが、

時間の変数では、ｔがよく使われる。timeのｔ。

 

f\left( t\right)

 

角度の変数であればθ（シータ）が使われる。

f\left( \theta\right)

 

 

 

係数である定数

では係数とは何か？

 

f\left( x\right) =x

f\left( x\right) =2x

f\left( x\right) =3x

 

 

上記でｘの左の数は、１，２，３は、ｘにかかっているので、ｘの係数。

 

同時に、１，２，３は定数。

 

定数とは、定まった数。１なら１。２なら２ということだ。１だと言っているのに、２を意味することはない。

 

この定数は「どんな数」でもよい。

 

その「どんな数」を表現したい時に、aを使う。

 

aは定数であり、ｘという変数に係っているので、同時に係数でもある。

「係数」には、a、ｂ、ｃがよく使われる。

疑問：ところで、aもｘもアルファベット。だからaの代わりにxで表現してもいいのか？

 

それをすると、 f\left( x\right) =axのaxがxxとなり、xxは x^{2}となってしまう。

 

当然、axと x^{2}は値が違うからダメ。

 

 

 

f\left( x\right) =yと、 f\left( x\right) =xの違い

さて、 f\left( x\right) は、ｘｙ軸において、ｘに、ある値を入れた時のｙの値のことだった。

 

念のための確認だが、ｘｙ軸が、ｘｚ軸なら、 f\left( x\right) =zとなる。

 

では、次の違いは何だろう？

 

f\left( x\right) =y

f\left( x\right) =x

 

f\left( x\right) =y

まず f\left( x\right) =yのｘに１を入れてみる。

f\left( 1\right) =y

 

ｘに２を入れると、

 

f\left( 2\right) =y 

 

つまり、ｘにどんな値を入れても、答えはｙ。

 

当たり前のことを言っているに過ぎない。

 

そもそも f\left( x\right)とはそのｙを求めるものだから。

 

 

f\left( x\right) =x

では、 f\left( x\right) =xはどうだろう？

 

ｘに１を入れてみる。 左辺のf(x)のｘに１を入れ、右辺のｘにも１を入れてみる。

 

すると、 f\left( 1\right) =1

 

f\left( x\right) とは、ｘを代入した時のｙの値のことなので

 

f\left( 1\right) =y=1

 

つまりｘにどんな値をいれてもｙ＝１。

 

グラフで表すと下記になるか？

 

これは間違いである。

 

どこが間違いか？

 

f\left( x\right) =xで

右辺のｘに１を入れただけで、それを全体の式にしてしまったことである。

 

まず、そもそも下記は意味が違う。

 

f\left( x\right) =x

f\left( x\right) =1

 

また f\left( x\right) =xについて、

ｘに1.2.3と代入すると、下記のようになるのに、一番上の f\left( 1\right) =1が答えだと勘違いしたところにある。

 

 

f\left( 1\right) =1

f\left( 2\right) =2

f\left( 3\right) =3

 

 

f\left( x\right)の記号の意味は何であったか？

 

ｘｙ軸でいえば、 f\left( x\right) とは、 f\left( x\right) のかっこの中のｘに、ある数を代入した時の値であって、それはｙ軸の値のことである。

 

よって、右辺のｘは、ｙの値である。

 

ｘなのにｙの値！

 

f\left( x\right) =xは、 f\left( x\right) =y=xのこと。

 

f\left( 1\right) のかっこの中のｘは「変数」。

 

一方、

 

f\left( 1\right) =ｘの右辺のｘは、変数ではなく「ｙの値」

 

同じアルファベットｘなのに、「変数」と「ｙの値」の意味で使われている！

 

 

 

 

ｙ＝1とは？

では関数が初めから f\left( x\right) =1ならどういう意味になるか？

 

この関数は、ｘにどんな値を入れてもｙは１だと言っている。

 

これこそが、 f\left( x\right) =y=1

 

つまり、ｙ＝1のグラフである。

 

 

これで、下記の３つの違いはわかっただろうか？

 

f\left(x\right) という記号は、そもそもどんな未知数を聞いているのか？

 

それは、ｘｙ軸において、ｘに、ある値を入れた時の、ｙの値である。

f\left( x\right) =y

f\left( x\right) =x

f\left( x\right) =1

 

では、 f\left( x\right) =1ではなく、ｙ＝1という方程式ならどんな意味になるか？

 

それは、単にｙが１だと言っているにすぎない。

 

関数のように、ｘに、ある値を入れた時のという条件は入らない。

 

単にｙは１と言っているだけ。

 

 

 

f\left( y\right) =とは何か？

では次に、ｙの値を変化させた時に、ｘはどうなるか知りたい時の式はどうなるか？

 

同じ理屈でいえば、 f\left( y\right) =xになる。

 

ｘｙ軸が逆になっただけ。

 

f\left( y\right)が求めているのは、ｙに、ある値を入れた時の、ｘの値。

ｘｙ平面がｙｘ平面になっただけ。考え方は同じである。

 

ポイント

ｙは縦、ｘは横、と思い込んでいると、この話の意味は理解できないだろう。

ｙが横軸、ｘが縦軸でもよい。

 

 

f\left( y\right) =1とは

では次のようなグラフはどのような関数で表されるか？

 

これはｙにどんな値を入れてもｘが１という意味なので、 f\left( y\right) =1となる。

 

f\left(  \right) の( )の中がｘからｙに変わっているのがわかるだろうか。

 

ｘｙ軸において、 f\left( y\right) が聞いているのは、ｘの値。

 

だから f\left( y\right) =x＝1

 

方程式ｘ＝1のグラフとは、 f\left( y\right) =1の関数グラフのことである。

 

f\left( y\right) は、 f\left( x\right) とは逆で、ｙを変数として、ｘの値を求めている。

 

以上のように、関数の意味、変数の意味が理解できれば、 f\left( \right)のかっこの中にどんな変数がきても問題ないだろう。

 

ｘｙ軸、ｙｚ軸、ｔｚ軸　θｙ軸、なんでもよい。

 

 

 

f\left( x\right)＝0 とは？

では f\left( x\right) =0はどんなグラフか？

 

f\left( x\right) =0は、ｘにどんな値を入れてもｙは0と言っているので、ｘ軸上の値に他ならない。

 

 

f\left( y\right) =0とは

では f\left( y\right) =0はどうか？

 

同様に、 f\left( y\right) =0は、ｙにどんな値を入れてもｘは0と言っているので、ｙ軸上の値に他ならない。

 

 

 

f\left( x\right)\gt0とは？

では f\left( x\right)\gt0とはどの領域か？ f\left( x\right) \gt0

 

f\left( x\right)\gt0は、ｘにどんな値を入れてもｙはプラスと言っているので、ｘ軸の上すべての領域を示す。

 

なぜか？

 

ｙ軸だけで見るとよくわかる。

0より上はプラスだからだ。

 

 

f\left( y\right)\gt0とは

ｘ>０も同様、 f\left( y\right)\gt0とは、yにどんな値をいれても常にｘは0以上なのでｙ軸より右の領域すべてを表す。

Copyright (C)　ミルキヅク All Rights Reserved.