次元とは

0次元は点

1次元は線

2次元は面

3次元は立体

どの次元で物事を見ているか？

これが微分積分だ。

まずは積分について説明したい。

リンゴが目の前にある。

３次元の立体で見ればリンゴに見える。

2次元でみれば赤い面、１次元なら線、０次元なら点に見える。

どの次元で見ているかによって、リンゴは姿を変える。

我々がリンゴと言えるのは、３次元で見ているから。

２次元から見ると、色と形からリンゴと判別できそうだが、３次元よりは判別が難しくなる。

１次元の線なら、もはやリンゴと認識できない。線は幅がないので色すら見えない。たとえ、赤い１本の線が見えても、それがリンゴであることはほぼ判定できない。

何かが３次元で今見えているということは、それを構成している０、1、2次元が同時にあることを意味している。

そして、低次元で動きがあるからこそ、それが高次元に反映される。

たとえば、点という0次元に動きがなければ１次元は発生しない。

我々が目でいろいろ知覚できるのも、低次元界での動きがあるから。仮に原子や素粒子の動きが0なら、何も見えない。黒という色すら見えないだろう。

補足：指数は次元を示す。何かの0乗は１。つまり0次元の点には1という動きがある。

３次元に住むものは４次元の見方を知らない。

４次元を見る特殊な見方が必要になる。

その特殊な見方を提供するのが「積分メガネ」である。

この積分メガネをかけると１次元上の世界が見られる。

例えば、縦x横x高さxで構成されるx3の３次元があるとする。

この３次元の世界を積分メガネで４次元的にみると $\frac{1}{4}x^4$ になる。

次元を表す指数３が一つ増え４になり、その増えた次元を分母にもってくる。

なぜ増えた次元が分母に来るかは後ほど説明するとして、まずはこの積分メガネの操作を覚えてほしい。

一方、4次元の世界は $\frac{1}{4}x^4$ に見えているが、積分レンズを外して、前に置けば $x^3$ に戻る。

前に置くとは、指数の４を $\frac{1}{4}x^4$ の $\frac{1}{4}$ の前に持ってきてかけることを意味する。つまり係数としてかければよい。

積分メガネを外したので、指数は４次元から３次元に戻る。

4ｘ $\frac{1}{4}x^4$ を計算すると、 $x^3$ という積分レンズをかける前の状態に戻った。この操作を微分という。微分は後ほど説明する。

では積分メガネをかけている状態で、それが $x^3$ という世界なら、その積分メガネを外すとどうなるか？

同じ操作でよい。

なぜ、積分メガネをかけた時は増えた指数を分母に持ってきたのに、次元を下げた時はそれをしなくてよいのか？

それは、我々３次元に住むものが2次元の平面を見る時に、わざわざ特殊な見方をしないのと同じである。例えば、テレビのディスプレイは二次元の面であるが、特殊な見方をしなくても、普通に見られる。