積分記号とｄ

積分記号は∫（インテグラル）とｄをセットで使う。

たとえば、 $x^{2}$ を積分する時は以下のように表す。

$\int x^{2}dx$

これは、何の未知数を求めようとしているのか？

積分とは

1.次元を一つ上げる

2.特殊な見方

よって、 $x^{2}$ という２次元の値を、３次元で見た時の値を知ろうとしている。

１次元上げる物の見方なので、１次元上げる性質がかけられているはず。

それがｄｘである。ｄｘの具体的な意味は後ほどする。

また、積分という特殊な見方をしてくださいという指示は∫とｄより判断できる。

まずは答えから見てみよう。

$\int x^{2}dx$ ＝ $\frac{1}{3}x^{3}$ 。

操作としては、指数を一つ増やし、増やした指数を分母に持ってくるだけ。

∫やｄという記号ないと、 $\int x^{2}dx$ は単に掛け算になってしまう。

$x^{2}x^{1}=x^{3}???$

積分は、単に二次元の $x^{2}$ に一次元の $x^{1}$ をかける操作ではない。特殊な見方が必要なのだ。

dxは略さず書くと $dx^{1}$ 。

指数は次元を示すので、１次元の性質を持っていることがわかる。

掛け算とはかけるものの性質を付与するので、1次元増えるわけだ。

注意： $1^{1}$ の指数の１は、１次元の線という意味もあれば、それを掛け算すれば、１次元増やすという意味にもなる。

ｄとは？（ディー）

ｄは最小変化を表す。

たとえばｔが時間なら、ｔにｄをかけたｄｔとは、ほぼ0に近い時間の最小変化を表す。

ある点から0.00000000…1と限りなく0に近い最小変化を表す。

0.0000001という定数ではなく最小の変化の値である。

ここが大事なポイントである。

変化の中にいろいろな数が含まれるのに、なぜ変化が値になるのか疑問に思うかもしれない。

たとえば、１から２への変化の中には、1.1とか1.3とかいろいろな数字があるのに、なぜ無数にありえる値を記号で表現できるのか？

というより、その変化そのものを記号で表現したのがｄであり、それが数学のアイデアである。

ｄはどのくらい最小か？

世の中の最小なものにプランク定数がある。

$10^{-34}$

0が34個もある小ささであるが、ｄはそれより圧倒的に小さく、かつ、定数ではなく、最小区間を持つ変化値である。

ｄは最小変化の区間的な値であって、１秒や２秒のような地点的な値ではない。

点と区間の違いはわかるだろうか。

0は拡大して見ても0地点だが、ｄは拡大してみるとほぼ0に近い最小変化が見てとれる。

注意：ｄは0という原点に近い意味ではなく、1でも1.5でも2でも、その付近におけるほぼ0のような最小変化を表している。

ｄは最小区間という最小変化を表している。区間という長さを持つ時点で、１次元の性質を内在している。

だからｄは必然的に１次元の性質を帯びることになる。

もっと具体的に言えば、幅を持つということは、次元を一つ上げるということだ。

0次元の点がｄによって幅を持てば、１次元の線になる。線が自身の線と違う向きに幅を持てば２次元の面になる。

ｄという記号自体は最小変化を与える性質があるだけで、そこに数字や単位が掛け合わさって意味を持つ。

よって、例えば時間ｔの最小変化を表したいのならｄｔとなる。

ｄｔはｔにｄをかけた値に見えるが、意味としてはｔの最小変化を表すので、ｄｔを一体化された記号として扱う。

ｄとΔデルタとの違い

ｄ以外の変化を表す記号に△デルタがある。

ｘの変化を表現するΔｘ（デルタエックス）。

これも１つの記号として扱う。

たとえばｘ軸で、0から1までの変化を１とすると、Δｘ＝１と表現する。

これはｘ軸の１という場所を示しているのではなく、0から1までの変化を示している。

ｄｘとの違いはｄは限りなく0に近い最小変化を表すのに対してΔはそれ以外の変化を表す。

Δｘも変化の量を表す便利な記号。ｘの変化という未知数をΔ記号で表しているにすぎない。

例えば、ｘ＝５はｘが５の地点であるが、Δｘ＝５であれば、変化量が５なので、0から5、1から6、-1から4など、変化量が5の区間を表す。