積分は何を１次元上げるのか？
積分は一次元上げる見方。
では何を１次元上げのか？
ｄの右の記号の要素である。
たとえば、ｄｘならｘ。ｄｒならｒである。
オレンジの中に、そのｘやｒがあるかである。
しかし、上の式のオレンジ内にｘは見当たらない。
では、オレンジ内の１という数字は、ｘが姿を変えたものなのか？
そうである。
では具体的に見てみよう。
教科書に書かれてないこと
教科書で
や
の答えはｒとなっている。
略さず書くと
だ。
補足：指数の１は１次元を表している。 以後ｒに指数が無い時は1。
とは１次元の線を意味する。
次元が一つ上がって1次元のになったので、積分の前は0次元。
0次元とは指数が0
つまり、にある１の指数は0である。
では、
である点が１次元の線になったのか？
違う。
という点である。
何かの0乗は１。よって、
ｄｒが作用するのは、このである。
はじめから
書いてくれれば親切なのに、数学は効率重視。余計な事は書かないので非常にわかりにくい。
であれば、が姿を変えた１である。
は、その１すら消えてしまっているが、隠れて見えないである。
積分されるのは、このという点である。その点がｄｒで積分されてという１次元の線になるのだ。
そこで、の中のをｄｒという積分メガネで見ると、の指数の0は１増え１となり、その増えた次数を分母にもってくるので、
となる。
なるほど、0次元の点を積分メガネで見るとという線に見えるというわけだ。
最小線って長さはあるの？
ｄｒとは、1次元の性質をもった最小線を表している。
最小線なので、長さはほぼ0である。
ところで、というのはまだ具体的な長さをもっていない。１次元の性質をもった線であることだけを意味している。
そしてという線の長さを決めるのが、∫が指定する区間。それを積み重ねると、具体的な長さになる。
∫が指定する区間とは、∫の上下に表される数字の区間である。 たとえば、0から1までの区間であれば、
と表現する。
計算のやり方は簡単。 
の答えはｒだった。 そのｒに、∫の上にある１を代入したものから、下にある0を代入したものを引けばよい。 よって、1-0＝1となる。
∫が指定する区間においてｒは1という線になった。(定積分)
区間を指定しなければ単に１次元の性質をもったという線である。（不定積分）
２という線にしたければ、
でもよいし、
でもよい。
このインテグラルが指定する区間の計算は、かけているのでなく、足し合わせている。だから指数の次元は変わらない。
補足：積分という言葉のイメージから、いかにも∫が掛け算のイメージがするが、∫は、ｄｘやｄｒで積分された答えを区間分足し合わせているにすぎない。
0次元の点が、積分操作によって1次元の最小線になるイメージはできただろうか？
練習問題
では一つやってみよう。
は？
ｄｒはどの値を積分しているのか？３か？
３は
に分解できる。
すると式は、
となる。
３にdrは作用しないから、そのまま∫の外に出せる。よって
になる。
は積分メガネでやった通りｒになる。
よって、
となる。
と
の違い
上記がわかるととの違いもわかるだろう。
のｙはｄｘの積分対象ではない。よって∫の外に出せる。ｄｘにかかるのは、見えていない
という１。
よって、
=
。
答えは
、つまりｘｙとなる。
