積分の係数の意味
積分した時、なぜ係数の分母に１つ増やした指数の値が来るのだろう。
1次元の線であるｘが積分で２次元に変化した時、という三角形のような値になる。
これは、１次元の線が二次元を見ると、その半分しか見れないことを意味した。
同様に、2次元のである面が３次元に変化した時、
という四角錐の性質を帯びることになる。
これは2次元の面が3次元を見ると、そのしか見れないことを意味する。
同様に、0次元のである点が1次元に変化した時、
という線の性質を帯びることになる。
これは0次元の点から１次元を見ると、線すべてを把握していることを意味する。
積分した時に、指数を+1して分母に持ってくる意味は、今の次元からみて、高次元がどのくらい把握できるかを表している。
整理してみよう。
0次元の点と1次元の線との関係
まず0次元を積分した1次元との関係を見てみよう。
注意：0次元をｘｙ軸を使って説明しているが、0次元は点なので、そもそも軸という１次元の概念はない。便宜上の図であることを頭の片隅においてほしい。
0次元のグラフは下記の右のグラフ。
ｙ＝1のグラフに見える。が、これは１次元の線の話ではない。
0次元の点が１という意味
では、ｘがどんな値でも１になるとは、どういう意味か？
0次元とは指数が0。つまり0乗のこと。
何かの０乗は１。
1とはｘを０乗したときの値である。
ｘがどんな値であれ、0乗は１になる。
1という点を繋げると線に見える。
ｘの変化に対してｙは１から不動なので、ｙの変化は常に0。
だから、傾きは0
「傾き」とは、ｘの変化（分母）における、ｙの変化（分子）。
分子が0なので、0÷何か＝0。
よって、傾きは0。確かに、横一直線になっている。
次がポイントであるが、傾きが0といってもｙそのものが0といっているわけではない。
ｙは1という大きさを持っている。
では0次元における１という変化は、1次元ではどう見えるか？
それが、左のグラフである。
0次元における１という変化は、左の１次元のグラフのの係数の1、つまり「傾き」である。
低次元の変化量は、一つ上の高次元の傾き
１は、をはじめ、
や
と自在変化できる。
0乗が１、つまり0次元が１という意味は、0次元において、ｘが最小変化した時、常にそこに１という変化が生じる。
そして、その１は、1次元におけるどのｘの変化においても、その傾きが１であることを意味する。つまり、ｘの変化とｙの変化が同じという意味である。
グラフの見た目に騙されない
もう一度同じグラフを見てみよう。
左の1次元のグラフは、右の0次元のグラフを積分した姿。
右のグラフは線にみえるが違う。
単に、１という大きさをもった点の連なりにすぎない。
ｘｙ軸でみると、いかにもｘがどの値でもｙ＝１のグラフに見えてしまうが、そうではない。
ｘｙ軸という軸は、長さをもった１次元の話。
点は0次元だから、そもそも長さを持たない。
点の中で起きている変化を便宜上ｘｙ軸で表現しているだけある。
点の中で起きている変化とは、ｘ軸もｙ軸もない0次元で起きている変化のことである。
点とは部分無きものなので、目には見えない。
点の中で１という変化、イメージできるだろうか？
点とは部分無きもので、本来、目に見えないことを、イラストを使って説明しているので誤解しやすいので注意。
点とは部分無きものだからといって、変化量が0という意味ではない。
もしも点が変化量0なら、積分しても線にならない。つまり0を積分しても0になるだけ。
0次元の点は1。１という変化量を持っているからこそ、そこに積分で最小変化が生じた時、１という点が1次元の線として捉えられる。
そして、点が１という変化量は、１つ上の次元の「傾き」を意味するから、45度の線が確定する。45度の線とは、ｘの変化とｙの変化が同じという意味。
のグラフとは、ｘにどんな値を入れてもｙはｘと言っている。つまりｙ＝ｘである。
よって、例えば、0次元のグラフで点が0から２まで変化した変化量２という意味は、左のグラフのｘが２の時のｙ軸の値というわけだ。
決して、下記の0次元のグラフのような面積領域の変化量ではないので注意してほしい。何度も言うが0次元に面積という２次元の要素はない。
便宜上ｘｙ軸で説明しているので、誤解しやすいが、0次元は点の中の起きている話。
仮に、ｘｙ軸で0次元を捉えてしまうと、ｙ＝１のグラフに見えてしまうので、ｘが0.1変化するとｙが1変化すると読んでしまう。
つまり、ｘが１に対してｙが10変化することになる。
10という変化は、1次元のグラフの傾き10を意味する。
0次元の点が最小変化した時、1という変化が発生するが、それは１次元の線のの係数1を意味する。
そして、「１」という数は、分母と分子が同じなら成立する。
0次元の点である「１」はそういう意味だ。
だからｘが0.1変化した時の、ｙの変化は0.1。
これを0次元の点は１だからといって、ｙ＝1のグラフの意味で捉えていると、永遠に理解できない。
補足：0次元の点が１である理由をグラフで見てみよう。
指数が分数とはルートのことだった。
たとえば、なら、
なら、
よって、0乗とは、分母が限りなく大きい時。
なら、
DESMOSというグラフツールで確認すると確かに、ｘがどの値でもほぼ１になっていることがわかる。
このようなグラフになる。
つまり0乗は１。
1次元の線と２次元の面との関係
次に1次元の線を積分した２次元のグラフとの関係を見てみよう。
考え方は0次元と1次元との関係性と同じである。
の1次元の線をxで積分した
の面のグラフを見てみよう。
1次元の線を積分したので１次元上がって、指数が２の２次元だ。
2次元の面は、１次元の線で表現すると曲線として現れる。
曲線なのに面積を表す！
不思議な感じがしないだろうか？
短冊に隠れているもの
0次元は１という変化が、１次元の「傾き」だった。
同様に、１次元の変化量は、２次元での「傾き」を表す。
では、１次元の変化量とは何か？
が作る三角形の面積である。
具体的に説明する。
ここに、ｘという１次元の線がある。
この１次元の線が、積分によって2次元方向に変化し面を作るとする。
2次元方向とは、１次元の線上以外の方向。
例えば、という線で考えてみよう。
は、ｙ＝ｘで、ｘとｙが同じ意味なので、ｘの変化と同じ分ｙが変化する。
１次元のｘをｘで積分して2次元にすると、になるので、ちょうど正方形を半分にした面積となる。
これは、ｘにどんな値を入れても、必ず三角形の面が表れることを意味する。
この三角形の面積が、f(x)=のグラフのｙの値となる。
たとえば、ｘが１なら、＝
＝
ｘが２ならとなる。
点である１が線になった時は、その線上すべてを捉えることができたが、１次元の線が２次元に行くときは、その半分しか捉えられないことを意味する。
f(x)=のグラフで短冊であるｙの値は、下位次元f(x)=
の三角形の面積を表しているのだ。
すると、ｘが変化する度に、三角形が隠れているが、ｘが最小変化した時の三角形の変化量は、「傾き」を表す。これは微分の話にすぎない。
つまり、低次元の変化を高次元で見るのが積分。
その高次元で見ているものを、低次元で見るのが微分である。微分すると、低次元の変化が見え、それは「傾き」として現れる。
なぜなら「傾き」とはｘの変化におけるｙの変化であって、ｘの変化を、ｘが微小変化した時と言い換えると、その時のｙの変化は三角形の面積の増減量にすぎない。
なぜ
はＵ形なのか？
三角形の面積そのもののは、一つ上の次元のｙの値だった。
そして、三角形の面積が少し変化した増減分は、ｙ軸の増減値となる。（下記イラスト③のオレンジの台形の増減量）
この増減量が「傾き」として現れるのであった。
下記の三角形のイラストのように、左の方にあるオレンジと、右のそれでは変化量が違う。
その変化量は、一つ上の次元の「傾き」を表すのであった。
確かに、ｘの場所によってyの値が違うので、傾きも違う。つまり、変化量が違う。
この各ｘにおけるｙの変化量の違いが、Ｕという形を作っている。
上の左のグラフでは、全部短冊でｙ軸の変化を表しているが、実際は、右の三角形を等分した図のように、①は三角形の面積の変化量、それ以外は台形の面積の変化量である。
