微分とは - ミルキヅクのブログ

さて、次は微分の話に移ろう。

積分は1次元上げた見方。微分は1次元下げる見方である。

微分操作は積分メガネを外すだけ。

微分の仕方

指数を前に下ろす
指数を１つ下げる。

積分が単なる掛け算でなかったように、微分も単なる割り算ではない。

補足：割り算はひっくり返してかけるので、掛け算ともいえる。

したがって、微分も積分のように掛け算のような性質がある。後ほど説明する。

さて、３次元から順次微分してみよう。

3次元から2次元

$x^{3}$ を微分すると $3x^{2}$ となる。つまり、今の3次元 $x^{3}$ から積分メガネを外して2次元をみれば、 $x^{2}$ という面を３倍したものが見られるわけだ。

積分の時と違って、いまいちイメージが湧かない。

４次元から３次元

４次元がすべて把握できている者 $x^{4}$ が３次元を見ると $4x^{3}$ となるが、我々の感覚で言えばどういう意味になるだろうか？

縦横高さの $x^{3}$ が完全に把握できている状態で、さらにその４倍見えるとはどんな感覚なのだろうか？

２次元から１次元

同様に２次元の $x^{2}$ を微分すると2ｘ。つまり、2次元 $x^{2}$ という面から、1次元の線をみれば、 $x^{1}$ という線を２倍したものが見られるわけだ。

１次元から０次元

同じく、１次元の $x^{1}$ を微分すると $1x^{0}$ 。 $x^{0}$ は１。１とは何か？1次元である $x^{1}$ という線から0次元を見ると、1という点が見える。

0次元からマイナス１次元

さらに、0次元の $x^{0}$ を微分すると、指数の0が前に来るので $0\times x^{-1}$ で0となる。 $x^{0}$ の微分はマイナス１次元である $x^{-1}$ にならない。

仮にマイナス１次元が0というなら、そのグラフにおいて原点に交点があるはず。

マイナス１次元は $x^{-1}$ で $\dfrac{1}{x}$ 。 $\dfrac{1}{x}$ は反比例のグラフだがｙ＝0に接するところはない。 $\dfrac{1}{x}$ ＝0になるようなｘは存在しない。だからマイナス１次元の解は0ではない。

よって、マイナス１次元は0ではない。

不思議なのが、マイナス１次元側から0次元へ積分する１という大きさが表れる。

マイナス次元から0次元へは、1という扉を通して入れるのに、0次元からマイナス次元には入れない。

まるで逆戻りできない扉のようである。

微分の記号とは？

さて、ｘ（エックス）で積分したものを元に戻す場合、ｘで微分すればよい。

ｘで積分することを∫とｄｘで表現したが、ｘで微分することは $\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ で表現する。

たとえばｘをｘで積分することを $\int xdx$ と表現し、答えは $\dfrac{1}{2}x^{2}$ になる。

$\dfrac{1}{2}x^{2}$ を積分する前のｘに戻すには $\dfrac{1}{2}x^{2}$ を $\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ で微分すればよい。微分するとは、 $\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ でかければよい。

$\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ をかけるとは、微分処理のことであり、微分処理とは、最初に説明した。

微分の仕方

指数を前に下ろす
指数を１つ下げる。

さて、

$\dfrac{1}{2}x^{2}$ は $\int xdx$ という積分の答えだったが、それをｙと置く。

すると、ｙ＝ $\dfrac{1}{2}x^{2}$ となる。

であれば、ｙをｘで微分することを $y\times \dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ で、 $\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ と表現できる。

$\int xdx$ の答えをｙと置いたので、

ｙをｘで微分したら $\int xdx$ で積分される前の値に戻る。

それは $\int xdx$ の∫の中のｘのこと。

だから、 $\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ とは $\int xdx$ を微分した $x$ を表している。

その $x$ とは、 $\int x^{1}dx$ の∫の中の $x^{1}$ のことである。

微分記号の読み方と注意点

$\dfrac {\mathrm {dy}}{\mathrm {d}x}$ の読み方はディーワイディーエックス。

上から読むことで分数と違うことがわかる。

しかし、性質は分数にとても似ている。

また、１や２のような定数でなく、「ｘが最小変化した時のｙの最小変化」という定数とは違った、区間を持ったような値を意味するので１つの記号として使う。

なぜ分子にもｄがあるのか？

微分するとは、 $\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ をかけることであった。

$\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ は $\dfrac {\mathrm {1}}{\mathrm {d}x}\times d$ に分解してみるとわかりやすい。

$\dfrac {\mathrm {1}}{\mathrm {d}x}$ とはｘの最小変化。

後者のｄはそれがかけるものを最小にする。たとえばｙにかけたらｄｙとなる。これはｙの最小変化を表す。つまり $\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ となり、ｘが最小変化した時のｙの最小変化を表す。それがｙをｘで微分する意味だと言っている。

傾き

分数とは分母の世界から分子を見ること。分数を計算するとは、分母１に対する分子の比。ｄｘで微分するとは、分母にｄｘを持ってくること。つまり、ｄｘの世界から分子を見ていること。言い換えれば、１というｄｘ変化に対する分子の変化をみている。さらに、分子をｘという視点から捉え直している。

なぜ微分は１次元下げた見方なのか？

$\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ の分母の $x$ の指数は１である。

分母の指数はマイナス乗である。

よって、

$\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x^{1}}$ は言い換えると

　 $d\times dx^{-1}$ 。

指数がマイナス1。指数とは次元。

つまり１次元下げる性質のものをかけているので、微分すると１次元下がるわけだ。

偏微分とは？

ここはおまけ。飛ばして構わない。

偏微分は微分と同じ考え方である。

一見すると、わけがわからない。

ディーゼット　ディーエックスと呼ぶ。

微分と同じ上から呼ぶ。

微分は主にｘｙ平面の話。　

$f(x)$

偏微分はｘｙｚ空間以上の話

偏微分は $f(x,y)$

$f(x,y)$ はｘｙｚ空間において何を求めていたか？

ｚである。つまり、あるｘとｙの時の、ｚの値である。

微分ではｘの最小変化に対してｙの最小変化を見たが、偏微分はｘとｙの最小変化の内、どちらかを固定しておいて、ｚの変化を見ているだけ。

ｘｙｚの３要素あるが、１要素は固定するので、その瞬間に微分と変わらない。

偏微分の記号は　 $\partial$ 　ラウンドディーやデルや偏微分であることが明らかな時はディーと呼ぶ。