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微分の正体

数学

このページは、数式がたくさんあるように見えるが、難しい計算はない。

$\frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ とは

まず $\int xdx$ を用意する。

ｘをｘで積分するという意味だ。

$\int xdx$ の答えを仮にｙとする。

補足：ｙと置くのは、計算しやすくしたり、わかりやすく説明するため。

ｄｘのｘと∫の中のｘをわかり安く区別するために $x^{1}$ と表記しておく。

すると $\int x^{1}dx=y$

そこで、両辺を $\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ で微分してみる。

$\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \int x^{1}dx = \dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} y$ となる。

単に $\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ を両辺にかけただけだ。

複雑そうに見えて、何も複雑なことはしていない。

馴染みのない記号がたくさんあるだけ。そこは、慣れるしかない。

右辺の $\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} y$ は、ｙをｘで微分するという意味で $\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ 。

$\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ の意味はわかっただろうか？

補足： $\frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ の別の見方

$\frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ を $\frac{d}{d} \times \frac{y}{x}$ と分離してみよう。 $\frac{d}{d}$ は１であり、単に $\frac{y}{x}$ に１をかけているだけ。

$\frac{y}{x}$ は分数。分数とは傾き。分母の変化に対する分子の変化。つまりxの変化に対するｙの変化。

そこに $\frac{d}{d}$ という最小変化という性質がかけられているので、xの最小変化に対するｙの最小変化と捉えると微分の意味が伝わるだろうか？

$y=\int x^{1}dx$ だったので、 $\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ のｙに代入すると

$\dfrac {\mathrm {d}\int x^{1}dx}{\mathrm {d}x}$

これは、先ほどの

$\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \int x^{1}dx = \dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} y$

の左辺にすぎない。

$\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \int x^{1}dx=\dfrac {\mathrm {d}\int x^{1}dx}{\mathrm {d}x}$

たしかに同じだ。

そして、 $\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ とは∫の中の $x^{1}$ のことだった。

よって以下が成り立つ。

$\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \int x^{1}dx = \dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x} = x^{1}$

複雑そうに見えて、単に、＝で結ばれた関係式を繋げただけ。

したがって、以下も成り立つ

$\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \int x^{1}dx= x^{1}$

単に一番左と一番右の式が一緒と言っただけ。

上記の式の意味は単に、

「積分 $\int x^{1}dx$ を微分 $\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ すると積分する前の値に戻った」

と言っているにすぎない。

これが微分は積分の逆操作という意味。

導関数とは？

$\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ は $f'(x)$ と表現され、導関数と言われる。微分することを、 $f'(x)$ である「導関数」を求めるという。

$\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}=f'(x)$

要は、導関数を求めるとは微分してくださいという意味。

そして、何かを微分して $f'(x)$ となる時、その何かを原始関数という。

原始関数は大文字で表す。 $F(x)$

何かとは、つまり微分する前の姿である。

微分の正体

$\int x^{1}dx$ は $x^{1}$ をｘで積分したものだが、別の姿もご紹介したい。

まずは、 $\int x^{1}dx=y$ と置く。

そして、

$\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}=f'(x)$ だった。

そこで、 $\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}=f'(x)$ の両辺を $dx$ でかけてみる。

$\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}\times \mathrm dx=f'(x)dx$

$dy=f'(x)dx$

両辺をｄで割ると、

$y=\dfrac{f'(x)\mathrm dx}{\mathrm d}$ となる。

先ほど $\int x^{1}dx=y$ と置いたので、

上の式と＝で繋げられる。

$\int x^{1}dx＝ y= \dfrac{f'(x)\mathrm dx}{\mathrm d}$ となる。

$\int x^{1}dx$ の正体は $\dfrac{f'(x)\mathrm dx}{\mathrm d}$

実は $y=\dfrac{f'(x)\mathrm dx}{\mathrm d}$ が積分記号を使って $\int x^{1}dx$ と表現されるようになった。

では、 $y=\dfrac{f'(x)\mathrm dx}{\mathrm d}$ とはどういう意味か？

対比して意味をつかむ

$\int x^{1}dx= \dfrac{f'(x)\mathrm dx}{\mathrm d}$ なので、対比する。

$\dfrac{f'(x)\mathrm dx}{\mathrm d}$ は、 $\dfrac{1}{d} \times\ f'(x)\mathrm dx$ とした方が対比しやすい。

∫が $\dfrac{1}{\mathrm d}$

$x^{1}$ がf’(x)に対応している。

$\int =\dfrac{1}{\mathrm d}$ とは

では、まず $\int=\dfrac{1}{\mathrm d}$ とはどういう意味か？

分数は分母の世界を基準に分子を見ることなので、分母ｄという最小変化という基準の中で分子の値を捉えることが∫と言っている。

一方、 $\int x^{1}dx$ という積分記号の中にある $x^{1}$ は $\frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ だった。

したがって、 $\int x^{1}dx$ は $\int \frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}dx$ とも表現できる。

$\int \dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}dx$ は、ｄｘが打ち消し合って、∫ｄｙとも表現できる。

∫＝ $\dfrac{1}{\mathrm d}$ だったので、 $\int dy=\frac{1}{\mathrm d}\times dy=y$ 　

よって、 $\int x^{1}dx=y=\int dy$

微分も積分？

では∫ｄｙはどういう意味か？

ｄｙとはｙの最小変化。

∫は $\dfrac{1}{\mathrm d}$ なので、 $\frac{dy}{d}$ 。

ｄとは最小変化。

分数は分母の視点から分子を捉えること。よって、ｄという最小変化を基準にｄｙという最小変化を捉えている。

ｙが１個のりんごだとすると、分子のｄｙは、１個のリンゴを構成する最小細胞の１つ。細胞１つを最小変化と捉えている。

その最小細胞（分子）を最小変化（分母のｄ）という視点で捉えているイメージ。

それが∫が指定する量まで積み足されて１つのリンゴが構成されている。

例えば、最小細胞が1兆個なら、

となる。

積分記号の $\int$ は、いかにも $\int$ が指定する区間を積み重ねる大きなものをイメージするかもしれないが、不定積分の場合は区間がない。

積分は、最小物から成るのである。

分母分子のｄを約分すると、 $\frac{y}{1}$ となって、単に１という通常の視点からｙという１つのリンゴを見ているに過ぎない。

余談：微分するとは $\frac{d}{dy}$ 。積分と微分は反対。よって、積分は $\frac{dy}{d}$ 。実は積分は、分母にｄが隠れていた！

$\int$ の積分記号とｄｘだけでは気づかない。

今、∫ｄｙは積分の話。

積分の話をしているのに、微分のように感じないだろうか？

最初にもお話したが、積分は掛け算、微分は割り算っぽいが、割り算は、ひっくり返してかける掛け算。

だから、微分も味方を変えれば積分。

$\mathrm dx$ をかける積分で次元が１つ上がる。

$\mathrm dx^{-1}$ をかける微分で１つ下がる。

つまり１次元上げる性質をかけたものが積分

１次元下げる性質をかけたものが微分である。

ｙ’は何を微分しているのか？

導関数f'(x)は、ｙ’と表現されたりもする。

しかし、ｙ’では、ｙを何で微分しているかわからない。

$\frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ であればｙをｘで微分していることが明確にわかる。

確かにｙ’は $\frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ やf'(x)より画数は少なく効率的だが、理解するまでが非効率である。

２回微分とは？

ｙをｘで2回微分するとは、 $\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ を２回行うこと。

まずｙに $\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ するので $\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ 。

$\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ にもう一度 $\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ するので

$\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ ｘ $\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ で

$\dfrac {\mathrm {d^{2}}y}{\mathrm {d}x^{2}}$ となる。

なぜ $\dfrac {\mathrm {d}y^{2}}{\mathrm {d}x^{2}}$ ではダメかわかるだろうか？

式で書くとこうなる。

$\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$ x $\dfrac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}$

とうぜん、 $\dfrac {\mathrm {dy}}{\mathrm {d}x}$ と $\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}$ は違う。

左の分子のｄがかけているのはｙ

右の分子のｄがかけているのは見えない１。

ｙは１とは限らない。

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