マイナス１次元と0次元の関係
0次元から3次元までは同じ関係性が見て取れた。
では、マイナス１次元から0次元への変化はどうだろうか？
まず今まで通りの流れで積分メガネを使ってみよう。
マイナス1次元のをｘで積分すると
という式になる。
指数の-1を１つ増やし、増やした値を分母にもってくるので、になる。
分母が0になる時は不定と言って計算できない。
よって積分メガネがいつものようには使えない。
自然対数lnとは
実は、マイナス1次元から0次元に行く時だけは、積分メガネを特殊なモードにする必要がある。
その特殊なモードを仮にネイピアモードと呼ぼう。造語である。
ネイピアとはネイピア数eのことで、2.718…と無限に続く超越数と言われる不思議な数である。
それはマイナス次元が0次元に入っていける鍵である。
ではネイピアモードでマイナス１次元を積分してみる。
＝
となる。
ｃは一旦横において、何やらという変な記号が表れた。
とは何か？
簡単である。 はエルエネと呼びlogのことである。
logは未知数の指数を知るための記号だった。
少し復習だけしよう。
とは、２を何乗したら４になるか？を聞いている。
２を底（てい）
４を真数（しんすう）
と呼んだ。
答えは２。この指数を知るための記号がだった。
指数は次元。だからは次元を知る記号ともいえる。
さて、特に底がe（ネイピア数）の時、と表記する代わりに
とした。
を自然対数と呼ぶ。
底の値が表記されてないので、一見すると何の意味だかわからない。
余談：の中でも、特に
のものを「常用対数」と呼ぶ。
また常用対数と区別するためにlnとした。
logのように底が書いてなければ、底は10という暗黙の了解がある。
つまり、
lnはで、eはネイピア数という2.718…と無限に続く超越数である。
ならば、10を何乗したら10ですか？を聞いているので１乗の１である。
一方、とは
のことで、eを何乗したらｘになりますか？を聞いている。 グラフで表すとこうなる。
ネイピアモード
今、何の話だったかと言えばマイナス１次元を積分するとになるという話だった。
言い方を変えると、マイナス１次元とは反比例のグラフだったので、反比例を積分するとになるということだ。
なぜマイナス１次元が反比例のグラフか？
だから。
マイナス乗は分母に来るのだった。覚えているだろうか？
ではマイナス１次元を積分したは、0次元の話なのか？
ｙ＝0の時だけ0次元と言える。
なぜなら、とは、そもそも指数を表すグラフだった。
従ってｘが変化した時のｙの値は指数、つまり次元を表している。
が示すｙの値はすべて次元を表すので、0.1次元、0.01次元なども含まれている。
注意：便宜上ｘｙ軸を使っているが、虚であるマイナス1次元や、点である0次元の話なので、本来は1次元の線的性質をもったｘ軸もｙ軸も存在しない。
０乗が１である理由
グラフは次元を表すので、ちょうどｙ＝0が0次元を表す。
ｙ＝0だけの領域においては、は0次元のグラフといえる。
ｙ＝0の時、ｘは１。つまり0次元の時、１。
言い換えれば、次元を表す指数が0の時、その答えは１。
つまり、何かの0乗は１だと言っている。
確かに＝1に一致している。
とは点だった。点とは部分無きもので、なんとなく0のようなイメージがするが、点が１である理由はこの
のグラフに隠れていた。
0次元である点が１であるからこそ、である１を積分した時に、
という線に変身できる。
もしも、が0なら、0を積分しても0なので次元が広がっていかない。
マイナス１次元とは？
ところで、マイナス１次元であるの反比例のグラフとは下記の形になる。
ここも注意であるが、このグラフもｘｙ座標で書かれているが、マイナス次元の話なので、そもそもｘｙ平面という2次元上での話ではない。
0次元の点は部分無きものだったが、マイナス1次元は、その点すらない「虚」なるものの世界の話。
曲線も本来は見えていない。
注意：便宜上ｘｙ平面を使っているので曲線は見えているが、のような2次元グラフの曲線とは全く意味が違う。
従って、マイナス１次元においては、ｘが変化した時のｙの変化という傾きの概念もない。
そもそもマイナス1次元の話なので、0次元の点すらも表現されない。
現に、ｘ軸との交点はない。
しかし、マイナス１次元を積分すると、となり、0次元において1という点が出現する。
そして、ちょうどｙ＝0である0次元において、1というｘ軸との交点が唯一現れる。
ｘ軸ととの交点は解なので、
の時、１という解を持つ。
それが0乗が１という意味になる。
0次元なのに、１という大きさを持っている。
言い換えると、点という部分無きものなのに、１という大きさがある。
そして、１という数は、、
など、分母分子が一致する限り、ほぼ0から、ほぼ無限の数値で表現できる不思議な数である。
マイナス１次元のｄｘ変化とは？
0次元において、ｘが変化するたびに１という点が現れ、それが数珠つなぎのようになった。線に見えるが、０次元の話なので１次元の線にはならない。この0次元の点が積分されて初めて線という1次元の特性を持つ。
同様に考えると、マイナス１次元において、ｘが変化するたびに0次元においては１という点が現れることを意味している。
どのｘの領域のｄｘという最小変化でも、0次元においては１が生じる。
、つまり、
という反比例のグラフでｘが変化する度に１が1つだけ出現する。１という点は数珠つなぎにはならない。
このようにマイナス１次元から０次元を考える時だけは特殊である。
我々の３次元は常に移ろいゆくので、マイナス次元においても変化があることを示唆している。
マイナス次元の変化とは何だろう？
素粒子を3次元に出現させる世界なのだろうか。
ビックバンを発生させる「ゆらぎ」の世界だろうか。
あの世のことか？
はたまた虚数の世界か。
実に不思議な世界である。
