加速度の正体

数学

加速度⇒速度⇒距離

マイナス2次元は加速度と言った。

 

理由は、加速度の単位にある。

 

\frac{m}{t^{2}}

 

分母の指数はマイナス乗である。

 

よって、言い換えると

mt^{-2}

 

マイナス２次元である。

 

 

加速度に時間をかけると速度になった。

 

単位だけで計算すると

\frac{m}{t^{2}} \times\ t= \frac{m}{t}

 

たしかに、 \frac{m}{t}は速度。

 

そして、分母はマイナス乗なので、言い換えると

mt^{-1}

 

速度はマイナス１次元であることがわかる。

 

 

加速度に時間をかけるととマイナス2次元から１つ上がってマイナス１次元の速度となった。

 

 

同様に、速度に時間をかけると距離になる。

\frac{m}{t} \times\ t=m

 

mは距離

ｍの分母は１。つまり\frac{m}{1}

 

分母の１を時間ｔであえて表現すれば t^{0}=1

よって、

 

mt^{0}

 

距離ｍは0次元であることがわかる。

 

つまり、速度を時間でかけると距離になる。

 

時間という媒体があるからこそ、加速度は距離に姿を変える。

余談：加速度は次元が増えてない？

微分すると次元である指数が下がるはずなのに、加速度では単位が t^{2}で指数が増えているように感じる。分母の指数はマイナス乗である。マイナスは0に近づく方がプラスの意味。だから-2から-1は次元が１つ上がっている。

 

逆に、距離を時間で割っていけば、距離から加速度に戻れる。

 

距離⇒速度⇒加速度

 

割り算とは分数。分数は分母の変化に対する分子の変化。

 

この変化を最小変化で捉えるのが微分。

 

 

 

距離を時間で微分するとは？

距離を時間ｔで２回微分すると瞬間の加速度がでる。

 

\frac{\mathrm d}{\mathrm {d}t}\times \frac{\mathrm d}{\mathrm {d}t}なので

 

\frac{\mathrm d^{2}}{\mathrm {d}t^{2}}となる。

 

よって、

 

m\times\frac{\mathrm d^{2}}{\mathrm {d}t^{2}}= \frac{\mathrm {d^{2}}m}{\mathrm {d}t^{2}}となる。

 

\frac{\mathrm {d^{2}}m}{\mathrm {d}t^{2}}とは、瞬間の加速度。

 

 

物理の教科書では距離ｍはｘで表現されることも多い。

 

\frac{\mathrm {d^{2}}x}{\mathrm {d}t^{2}}

 

確認： dt^{2}は d\times t^{2}のことではない。

ｄｔは１つの記号として扱うので2乗はｄｔにかかっている。

 

 

 

加加速度とは？

ちなみに、時間で三回微分すると「加加速度」という概念になる。

 

\frac{\mathrm {d^{3}}x}{\mathrm {d}t^{3}}

 

ここまでくるとイメージしにくい。

疑問：距離を時間で積分すると何になるのだろうか。

 

 

 

加速度を２回積分すると？

逆に、微分したものは積分で戻るので、瞬間の加速度から瞬間の距離に行くためには時間で２回積分すればよい。

 

 

まずは加速度を時間で１回積分すると

  \int \frac{m}{t^{2}}dt=瞬間の速度

 

 

速度をもう一回時間で積分すると

\int \frac{m}{t}dt=瞬間の距離

 

 

ところで、0次元の点は１という大きさをもっているが、ｘで積分すると、 x^{1}という１次元の線になる。

 

 

この話、前回やった加速度（一定）を時間ｔで積分すると速度になる話と似ている。

 

前回は重力加速度9.8だったが1だと思って下記グラフと見比べてほしい。

 

 

そして、1次元の線 x^{1}をｘで積分すると2次元の面 \frac{1}{2}x^{2}になる。

 

この話も、速度ｖを時間ｔで積分すると距離になる話と似ている。

 

まさにそうなのである。

 

それらの証拠は、物理の運動方程式にも見られる。

 

 

 

運動方程式と微分積分

高校で習う運動方程式。

運動方程式

時刻ｔでの速度　　 v=v_0+at

時刻ｔでの変位（距離） s=v_0t+\frac{1}{2}at^{2}

 

ｓはspaceか。ｓはｍの距離と同じだと捉えてほしい。

 

その方程式の中で、大事な要素だけ取り出そう。

 

速度＝ at

変位（距離）＝ \frac{1}{2}at^{2}

 

 

ここで、加速度１を仮に aとする。

 

すると、加速度1である aを時間tで積分すると \int adt、

 

答えはat

 

atとは速度のこと。

補足： \int adtのdtのｔは、隠れて見えない t^{0}という１にかかっている。 \int adtは本当は、 \int at^{0}dt

 

 

 

同じように速度atを時間tで積分すると \frac{1}{2}at^{2}となる。

 

物が動くとは、加速度⇒速度⇒距離のことであり、0次元の点の変化が2次元では面で見える話とそっくりである。

 

だから、加速度、速度、距離は、どの次元で変化を捉えているかの呼び名の違いにすぎない。

 

余談：構造力学の「荷重」⇒「せん断力」⇒「曲げモーメント」も同じ。

「荷重」という0次元の力が、１次元の方向へ積分されたのが「せん断」。

「せん断」が２次元方向に積分されたのが「曲げモーメント」。

 

力を加えて物が変形する話と、移動する話は、自分が「力」の気持ちになれば同じなのだろう。

 

 

 

思考という加速度

加速度とはいったい何だろう。

 

加速度はどこから生まれたのだろうか？

 

加加速度から生まれたと言ってしまえば、いかにも物理っぽいが…。

 

 

この宇宙はビッグバンによって始まったとされている。

 

なぜビックバンが起きたのか？

 

少なくともどこかに力なるものがあったはずだ。

 

仮にその力が加速度だったとすれば、加速度はマイナス２次元だった。

 

そこでの変化はマイナス１次元の速度になった。

 

そして、マイナス1次元の速度という変化は、0次元においては、１という大きさをもった点として出現した。

 

その１である点が「距離」というビッグバンなのだろうか？

 

現に、点が１という大きさ（距離）を持っているからこそ、2次元３次元の空間が生まれた。

 

そういった思考もまた力の一種であり、その思考という加速力は、目に見えないモノを物質化させる力なのかもしれない。

 

はたまた、この世が思考から生み出された仮想現実なら、マイナス2次元の加速度という力である思考が、３次元に映し出しているのかもしれない。

 

または、加速度という力は、マイナス次元のあの世から、プラス次元のこの世に生命として現れる魂なのかもしれない。

 

 

 

加速度を見出す人間の想像力

0次元の点から始まり、線、面、立体と指数が1.2.3と増えていった。

 

一方、加速度、速度、距離は、指数が-2、-1、0と増えていった。

 

距離は１という大きさをもった0次元の点でもある。

 

ものの動きを洞察して、加速度、速度、距離という概念をつくった人間の想像力は驚異的だ。

 

あなたは動く物体をみて、そんなことを思うだろうか？

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